2022-04-24 출수 ✏

🔎 명제 🔎

명제란 "참과 거짓을 구별할 수 있는 문장이나 수식" 을 명제라고 한다.

( 주관등에 의해서 결과가 변한다면 명제가 아니다. )

명제의 진리값 표기법은 참 > T 거짓 > F 으로 표현한다.

예시 ) x + 1 = 0 >>>> 참일 수도 거짓일 수도 있다. 따라서 명제가 아니고 "명제함수"라 칭한다.

👀 논리연산 👀 

중요 개념 > 연산의 개념

연산이란 "무언가 다른 두가지를 조합해서 새로운 무언가를 만들어 내는것" 을 의미한다.

논리합 ( disjunction; or ; v )

1. p v q

논리곱 ( conjunction; AND; ^ )

1. p ^ q

논리차 ( NOT; ~ )

1. p ~ q 

배타적 논리합 ( exclusive or ; xor ; ⊕ ) 

1. p ⊕ q
2. { ( p ^~ q ) v ( ~p ^ q ) } = p ⊕ q

p	q	p ⊕ q	p v q	(p ⊕ q) ^ (p v q)
T	T	F	T	F
T	F	T	T	T
F	T	T	T	T
F	F	F	F	F

 

조건명제 ( conditional proposition )

1. p -> q
2. 명제 p 와 q 가 있을 때 , 명제 p 가 조건의 역할을 수행하고 명제 q 가 결론의 역할을 수행하는경우

p	q	p -> q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 

논리적 동치 ( logical equivalence , ≡ )

1. 어떠한 논리와 또 다른 논리가 같을 경우
2. EX ] p -> q 는 q -> p 는 같다.
   1. 조건명제 q -> p
      1. 역 ( converse ) q -> p
      2. 이 ( inverse ) ~p -> ~q
      3. 대우 ( contrapositive ) ~q -> ~p

항진명제 ( tautology ) 와 모순명제 ( contradiction )

1. 합성명제를 구성하는 명제의 진리값과 상관없이
2. 항상 참인 명제를 항진명제라 하고 
3. 항상 거짓인 명제를 모순 명제라 한다. 

추가 : 수학자 들은 항진명제와 모순명제를 찾기위해 노력한다.

 

😨 Relation 😨

곱집합

1. 집합 A,B의 곱집합 ( Cartesian Product) A x B는 A의 원소와 B의 원소의 모든 순서쌍 ( ordered pair ) 들의 집합          , 즉 A x B = { (a,b) | a ∈ A , b ∈ B}

관계 ( relation )

1. 집합 X 에서 집합 Y로의 관계 ( relation ) R은 곱집합 X x Y 의 부분집합
2. ( x , y ) ∈ R => x는 y와 R의 관계가 있다. xRy로 표기
3. X = Y 이면 R을 X에서의 관계

관계의 표현

1. 화살표 도표
   1.  a ∈ A , b ∈ B
2. 방향 그래프
   1. x , y ∈ X
   2. ( x , y ) ∈ R
3. 부울행렬
   1. 관계는 1 관계가 아닌것은 0 으로 적어 관계를 행렬로 나타낸 것이다.

관계의 성질 종류

반사 > 본인에게 가는선이 존재 해야 됨. 모든 원소가 스스로 관계를 가지고 있어야 됨.

대칭 > 서로 동일하게 가는선이 존재 해야 됨.  관계가 아예 존재하지 않던지 존재한다면 무조건 대칭 이여야 됨.

추이 > EX ] 3->1 AND 2->2 라면 3->2가 존재 해야 됨.

           두가지 원소 이상이 서로 관계를 가지고 연결되어 있다면 첫 원소와 마지막 원소도 관계여야 됨.

추가 : 풀이시 관계를 부울행렬로 변환하고 풀이하면 한눈에 이해 가능함. 추이적인지 판단은 관계를 그리는 것을 추천

관계 함수

계승함수( factorial )

1. EX ] 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

바닥함수 ( floor function )

1. EX ] 3.5 => 2 ~ 3 답 : 3
2. 실수 x의 바닥 함수 값은 x와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 하나이다.

천정함수 ( ceiling function )

1. 실수 x에 대해 , x보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 구하는 것
2. EX ] 3.5 => 3 ~ 4 답 : 4

나머지 함수 

1. EX ] 5 mod 3 = 2